Chemistry

Symmetry: point group, symmetry elements

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Symmetry point group

Definition: symmetry point group
The set of all symmetry operations that can be performed on a molecule is called a symmetry point group.

Each molecule only belongs to a single symmetry point group. The symmetry point groups to which real molecules belong are extraordinarily numerous, but they can be classified systematically if one considers how they are built up from increasingly complex combinations of symmetry operations. To classify the molecules according to their symmetry, one lists all the symmetry elements of a molecule. Molecules with the same number and type of symmetry elements belong to the same group. There are two different systems for denoting symmetry groups; Both are based on the symmetry elements that the group contains. The Schönflies system is usually used for molecules; the Hermann-Mauguin system (also known as the International System) is common for the treatment of the symmetry of crystals.

Systematics of symmetry point groups

  1. The groups C.1, C.i and C.s A molecule belongs to C.1if it does not contain any element other than identity. It can only be brought into congruence again by rotating it 360 ° around any axis that has passed through it. This, however, is identical to the initial situation. (Of course, this "symmetry" has every "asymmetrical" geometric figure.) If it contains the inversion in addition to the identity, it belongs to C.i. If it has a plane of symmetry besides identity, it belongs to C.s.
  2. The groups C.n A molecule belongs to C.nif it has the identity and an n-fold axis. C.n has three meanings: it can stand for a symmetry element, a symmetry operation or a group.
  3. The groups C.nv Bodies in these groups have, as symmetry elements, the identity, a C.n-Axis and n vertical planes of symmetry.
  4. The groups C.nH Bodies in this group have a number of main axes and a horizontal plane of symmetry as symmetry elements. Often it follows from the presence of certain symmetry elements that certain others must also be present; in this case the inversion i must be an element of the group because C.2 and σH available.
  5. The groups D.n The molecules in this group have an n-fold major axis and n twofold axes perpendicular to C.n.
  6. The groups D.nH Molecules in addition to the elements of the groupD.n have a horizontal plane of symmetry form the group D.nH. All homonuclear diatomic molecules belong to the group D.H , and all heteronuclear molecules belong to the group C.v.
  7. The groups D.nd Molecules in addition to the elements of the groupD.nH have diagonal planes of symmetry, form the group D.nd.
  8. The groups S.n Body with a rotating mirror axis S.n belong to the group S.n. There is in S.n only very few molecules with n≥4. The groupD.2 is identical to C.i.
  9. The Cubic Groups Some very important molecules (e.g. C.H4) have more than one main axis and belong to thinkubic groups, especially to the tetrahedron groups T, Td, TH and the octahedron groups O and OH. The group Td is the group of the regular tetrahedron,OH that of the regular octahedron. If a body has the rotational symmetry of the tetrahedron or octahedron, but not the planes of symmetry of these bodies, then it belongs to the simpler groups T respectively. O. The group TH contains in addition to the elements of T another inversion center i.
  10. The rotation group R.3 This group includes the sphere and a single atom, but not a molecule. This group plays an important role when considering symmetry of atoms.

Symmetry

symmetry, in the most general sense, the existence of regularities of certain spatial or mathematical structures in such a way that these are absorbed again after certain operations have been carried out. The S. appears most vividly on geometric objects. Here it means the repetition of a structural or morphological motif according to certain rules. Such objects, which play a special role in chemistry, are z. B. Molecules, coordination polyhedra or crystals. In physics and mathematics, the concept of symmetry is also applied to abstract relationships and laws, if these behave invariantly to certain transformations.

A body is called a symmetricalwhen he is through a geometric operation that Symmetry operation (Deck operation), can be transferred to a situation that is indistinguishable from its initial situation. For mathematical reasons, one also looks at those Identity operationwhich leaves the body in its original position and is actually just a pseudo-operation, as a symmetry operation. The indistinguishable positions of the body can therefore either be symmetrical or identical. A necessary prerequisite for performing a symmetry operation is the existence of a geometric location, i.e. a point, a straight line or a surface, to which it relates itself and which is called Symmetry element referred to as. Symmetry operations and elements are mutually dependent: The symmetry operation is defined with respect to a certain symmetry element and can only be carried out on it, the presence of a symmetry element can only be demonstrated by carrying out the corresponding symmetry operation. The symmetry elements and operations that correspond to one another are usually denoted by the same symbol. For the description of the S. of molecules (molecular symmetry), the symbolism according to Schoenflies is predominantly used, for the S. in a crystal, on the other hand, the international symbolism according to Hermann-Mauguin is preferred.

In the case of limited spatial objects, the following symmetry operations or elements (Fig. 1) come into question (the corresponding Schoenflies symbols are given):

1) Identity operation (identical operation, symbol E.).

2) rotation around a Axis of rotation (Symbol C.n). Used when rotated 360 & # 176 n-times congruence achieved or the smallest angle of rotation required to achieve congruence is 360 & # 176 /n, it is an axis of the Number n (n-number of axis of rotation). If several axes of rotation occur at the same time, the one with the highest number is used as the Main axis of rotation designated. The main axis of rotation of an axially symmetrical body (rotation by any angle to achieve congruence) has the number infinite (symbol C.∞).



Symmetry. Fig. 1: Point symmetry elements: (a) axes of rotation, (b) mirror plane, (c) center of symmetry, (d) axis of rotation mirror, (e) axis of rotation inversion.

3) reflection at a Mirror plane (Plane of symmetry, symbol & # 963). A mirror plane divides a body into two halves in such a way that they behave like an image and a mirror image. If the position of a mirror plane in relation to a main axis of rotation is to be specified, its symbol is provided with an index (Fig. 2): & # 963H- the mirror plane is perpendicular to the main axis of rotation & # 963v & # 8211 the mirror plane contains & # 228 the main axis of rotation & # 963d & # 8211 the mirror plane contains the main axis of rotation and bisects the angle between two C.2-Axes that are perpendicular to the main axis of rotation.



Symmetry. Fig. 2: Types of planes of symmetry.

4) inversion on one Center of symmetry (Center of inversion, symbol i). To every point there is a symmetry equivalent counterpoint at the same distance, but in the opposite direction to the center of symmetry.

5) Rotating mirroring at a Rotating mirror axis (Symbol S.n). It is a compound symmetry operation and consists of rotation C.n around an axis of rotation and in the subsequent reflection & # 963H on a plane perpendicular to the axis. A two-digit rotating mirror axis S.2 corresponds in its effect to a center of symmetry i.

6) Rotation inversion at a Rotational inversion axis (no Schoenflies symbol, symbol after Hermann-Mauguin n -). In this symmetry operation, which is also composed, rotation takes place C.n and then inversion i. Each rotational inversion axis is equivalent to a rotational mirror axis, but the numerals can be different. B. the relationships 1 - = S.2, 2 - = S.1, 3 - = S.6, 4 - = S.4. The use of rotational mirroring and rotational inversion to describe symmetry occurs alternatively; in chemistry the first-mentioned symmetry operation is preferred, in crystallography the last-mentioned symmetry operation.

Apart from the identity, geometric objects can have no, one or even several symmetry elements. The totality of all symmetry operations on an object forms a mathematical group. Since (at least) one point retains its position in all symmetry operations that can be carried out on an object of finite extent, the corresponding group of symmetry operations is called Symmetry point group or short Point group. For the determination and symbolism of the point groups of molecules, molecules, isymmetry.

To describe all the possibilities of S. that can appear in the form of a crystal (macroscopic S.), 32 point groups are sufficient, which are also called the 32 Crystal classes are designated (crystal). For the structural symmetry relationships (microscopic p.), The Translation must be taken into account as a symmetry operation. It consists of a parallel shift that can be repeated as often as required by a certain distance and forms the basis for the infinitely extended lattice structure of the crystals. The coupling of the translation with the two point symmetry operations rotation and mirroring results in two new microsymmetry operations (Fig. 3):

1) Screwing along a Screw axis (Symbol according to Hermann-Mauguin: np). It is rotated through 360 & # 176 /n and simultaneous displacement parallel to the axis of rotation around the screw

component

whereby t = Translation period and p = 1, 2, . (n & # 8211 1). So achieved z. B. at a 41-Axis a point after being rotated four times by 90 & # 176 with each shift by t/ 4 a translational equivalent position (Fig. 3a).

2) Glide reflection at a Glide plane. Here, a point is shifted by half the translation period and mirrored on a plane parallel to the translation direction (Fig. 3b). The symbol for the glide reflection is determined by the glide direction (a, b, c, n or d).



Symmetry. Fig. 3: Symmetry elements with translation component: (a) screw axis (with right or left turn), (b) glide mirror plane.

The systematic combination of all possibilities for the crystallographic structural symmetry leads to the 230 Room groups.

In the natural sciences, use is made of the symmetry concept in order to simplify the application of theoretical points of view to experimental results. The advantage lies in the fact that on the one hand symmetry arguments are very clear and on the other hand the S. is easily accessible with the help of group theory for an exact mathematical treatment. The chem. and physical properties of many chem. Species are decisively determined by their S. or the S. of their geometric connection. The education and the understanding of chem. Structures relies to a large extent on the knowledge of their symmetry properties. Important areas of application of the S. are quantum chemistry, spectroscopy, the interpretation of dipole moments and optical activity as well as structure determination with the help of X-ray, neutron and electron diffraction.


Contents

The study of symmetry in molecules makes use of group theory.

Examples of the relationship between chirality and symmetry
Axis of rotation
(C. n )
Improper rotation elements ( S. n )
Chiral
no S. n
Achirals
Mirror plane
S. 1 = σ
Achirales
Inversion center
S. 2 = i
C. 1
C. 2

Elements

The point group symmetry of a molecule can be described by 5 types of symmetry elements.

  • Axis of symmetry : An axis around which a rotation leads to a molecule indistinguishable from the original. This is also called the n- times Rotation axis designated and with C n abbreviated. Examples are the C 2 Axis in water and the C 3 -Axis in ammonia. A molecule can have more than one axis of symmetry, the one with the highest n is called Main axis and is aligned according to convention with the z-axis in a Cartesian coordinate system. 360 ∘ n < displaystyle < tfrac <360 ^ < circ >>>>
  • Plane of symmetry : A plane of reflection that creates an identical copy of the original molecule. This is also known as the mirror plane and is abbreviated with σ (Sigma = Greek "s", from the German "Spiegel", which means "mirror"). Water has two of them: one in the plane of the molecule itself and one perpendicular to it. A plane of symmetry parallel to the major axis is called verticalv ) and one perpendicular to it horizontalH ) designated. A third type of plane of symmetry exists: If a vertical plane of symmetry additionally bisects the angle between two twofold axes of rotation perpendicular to the main axis, the plane is called a dihedral (σ d ) designated. A plane of symmetry can also be identified by its Cartesian orientation, e.g. B. (xz) or (yz).
  • Center of symmetry or Inversion center , abbreviated i . A molecule has a center of symmetry if for every atom in the molecule there is an identical atom that is diametrically opposed to this center at the same distance. In other words, a molecule has a center of symmetry if the points (x, y, z) and (−x, −y, −z) correspond to identical objects. For example, if there is an oxygen atom at a point (x, y, z), there is an oxygen atom at the point (−x, −y, −z). At the center of inversion itself there may or may not be an atom. Examples are xenon tetrafluoride, in which the inversion center is on the Xe atom, and benzene (C 6 H 6 ) with the center of inversion in the center of the ring.
  • Rotational reflection axis : An axis about which a rotation by followed by a reflection in a plane perpendicular to it, leaves the molecule unchanged. Is also known as n- times wrong axis of rotation designated and with S n abbreviated. Examples are in tetrahedral silicon tetrafluoride with three S's 4 Axes and the staggered conformation of ethane with an S 6 -Axis available. One 1 -Axis corresponds to a mirror plane σ and an S. 2 -Axis is an inversion center i . A molecule that has no S for any value of n n Axis is a chiral molecule. 360 ∘ n < displaystyle < tfrac <360 ^ < circ >>>>
  • identity , abbreviated with E, from German unity, which means unity. This element of symmetry simply consists of no change: every molecule has this element. While this element appears physically trivial, it needs to be added to the list of symmetry elements in order for them to form a mathematical group, the definition of which requires the inclusion of the identity element. It's called that because it's analogous to multiplying by one (unit). In other words, E is a property that every object must have regardless of its symmetry properties.

Operations

The five symmetry elements are five types of Associated with symmetry operations that leave the molecule in a state that is indistinguishable from the initial state. They sometimes differ from symmetry elements by a caret or a circumflex. Hence Ĉ n the rotation of a molecule around an axis and Ê is the identity operation. More than one symmetry operation can be assigned to a symmetry element. For example, the C 4 -Axis of the square xenon tetrafluoride (XeF 4 ) Molecule with two Ĉ 4- Revolutions (90 °) in opposite directions and a Ĉ 2- Rotation (180 °) connected. Since Ĉ 1 equivalent to Ê, Ŝ 1 to σ and Ŝ 2 to î is , all symmetry operations can be classified as either correct or incorrect rotation.

In the case of linear molecules, a clockwise or counterclockwise rotation around the molecular axis through any angle Φ is an operation of symmetry.


Symmetry: point group, symmetry elements - chemistry and physics

The concept of the group

Molecules (and crystals) usually have not just one but several elements of symmetry. However, not every arbitrary combination is possible. If z. For example, if a mirror plane is present, it can never be oriented at an angle to an axis of rotation (the axis must either be perpendicular to the plane or in it). This example makes it clear that the symmetry elements of a molecule usually do not coexist independently of one another, but are often linked to one another. A relationship between them can be established using one of the most important terms in modern mathematics, the term group. Possible combinations without translational symmetry are called point groups. The designation expresses that only simple combinations of symmetry elements are possible, in which there is a marked point or a marked axis through which all symmetry elements run.

  1. If A and B are elements of the same group (not to be confused with the Mulliken symbol), their combination (called `` multiplication '') results in A & middot B = C also an element of the group.
    The `` product '' A & middot B means that first the symmetry operation B is applied to the molecule and then operation A to the new position. The effect is the same as the sole application of the operation C to the molecule. In general, because of A • B & sup1, B & middot A is the commutative law not fulfilled.
  2. The unit element E must appear once in each group. E commutes with every element in the group, e.g. B. E & middot B = B & middot E = B.
  3. The associative law applies: A & middot B & middot C = (A & middot B) & middot C = A & middot (B & middot C)
  4. For each element (e.g. A) there is an `` inverse '' (or reciprocal), which is also included in the group and is denoted by A -1.
    The following applies: A & middot A -1 = A -1 & middot A = E.
    In the case of symmetry operations, the inverse operation A -1 is the one that moves the molecule back to the original position (starting position) from which it was removed by operation A.

Example NH3
Some of the fundamental considerations from group theory will be explained in more detail below using the example of the ammonia molecule. The symmetry operations E, C3 +, C3 -, & sigmav, & sigmav'and & sigmav"assign it therefore belongs to group C3v.

C.3 + - Rotation around the vertical 3-way axis of rotation counter-clockwise
C.3 - - Rotation around the 3-way axis of rotation clockwise (Movie, 455kB)
& sigmav - Mirroring on the vertical plane & sigmav (Movie, 393kB)
& sigmav' - Mirroring on the vertical plane & sigmav '
& sigmav" - Mirroring on the vertical plane & sigmav "

As already mentioned above, the successive execution of certain symmetry operations leads to further symmetry operations. It should be noted here that the symmetry operations carried out one after the other can always be replaced by a single one from the same group. This fact is an essential and important quality of any group.
The sequential execution of the operations is symbolically represented as multiplication. The notation E = C3 - C3 + means that the counterclockwise rotation (C3 +) and then clockwise (C3 - ) he follows. According to the agreement, the operation that is carried out first is always shown on the right. If the factors are interchanged (which changes the sequence of the symmetry operations), in contrast to the usual school arithmetic, it can happen that the "product" is changed as a result. In the following figure it becomes clear that the end position of the hydrogen atoms in the ammonia molecule depends on the order in which the symmetry operations are carried out.

Fig.1: Dependence of the product of two symmetry operations on the
Sequence of their execution using the example of the ammonia molecule.

From the six symmetry operations of the ammonia molecule, a total of thirty-six products can be formed by multiplying two symmetry operations each, which are summarized in the following so-called "multiplication table" (first the transformation is carried out from the row, then the transformation from the series).

E. C.3 + C.3 - & sigmav & sigmav' & sigmav"
E. E. C.3 + C.3 - & sigmav & sigmav' & sigmav"
C.3 + C.3 + C.3 - E. & sigmav' & sigmav" & sigmav
C.3 - C.3 - E. C.3 + & sigmav" & sigmav & sigmav'
& sigmav & sigmav & sigmav" & sigmav' E. C.3 - C.3 +
& sigmav' & sigmav' & sigmav & sigmav" C.3 + E. C.3 -
& sigmav" & sigmav" & sigmav' & sigmav C.3 - C.3 + E.

The transformations can also be represented as matrix multiplication. General information on the transformation of a point with (x, y, z) coordinates can be found here.

By multiplying two matrices you get a new matrix that represents a symmetry operation. For example, the expression D (& sigmav) D (C3 +) = D (& sigmav") exactly with the multiplication rule & sigmavC.3 + = & sigmav"in agreement.
The set of six matrices that contain all group C symmetry operations3v represent, is called matrix representation of group C3v.

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Table of contents

If one examines a geometrical figure for its symmetries, one comes at first completely without the mathematical term group the end. It may be beneficial if you are new to the field Symmetry groups adhere to the approach of the mathematician, physicist and philosopher Hermann Weyl. Weyl, one of the pioneers of group theory, begins the foreword to his famous book symmetry [1] like this:

Starting with the somewhat vague notion of symmetry as harmony of proportions, these four lectures first develop the concept of geometric symmetry in its various forms as bilateral, [2] translative, rotative, ornamental and crystallographic symmetry and finally ascend to the general, all of these Forms underlying idea, namely the idea of ​​the invariance of a structure vis-à-vis a group of automorphic transformations.

A figure is rotationally symmetrical if it is from the The figure that results when it is rotated around a central point by the angle φ < displaystyle varphi> is indistinguishable. A circle or a circular ring are rotationally symmetrical in the narrower sense. A rotation through any angle maps it onto itself.

A figure is mirror-symmetrical if it is mirrored on one of the mirror-symmetry axes and if it cannot be distinguished from its image that is created in this way. All the figures shown are mirror-symmetrical. They have 3, 4, 5, 6, 1 or 2 axes of mirror symmetry. Homogeneous regular polygons have as many mirror symmetry axes as they have rotational symmetry elements (if one uses the neutral Symmetry operation is one of the rotational symmetry elements). The reverse does not apply: A figure with n-fold rotational symmetry does not necessarily need to have mirror symmetry axes. The following also applies: If a figure has an axis of mirror symmetry, it does not necessarily have to be rotationally symmetrical, as the figure in the lower left corner of the graphic shows.

One arrives at the symmetry group of the respective figure by systematizing the symmetries of the respective figure, the respective object.

The following terms describe possible properties of an object that can be used to determine which symmetry group the object belongs to.

Discreet edit

A symmetry group has a discrete topology if there is such a thing as “smallest steps”. For example, a group of rotations about a point is discrete if and only if all possible angles of rotation are multiples of a smallest angle. On the other hand, if the group also contains any small angles of rotation, then this group is not discrete. In general, every group with a finite number of elements has a discrete topology. A discrete group can be created from a finite number of symmetry operations through composition. The reverse does not apply.

In practical terms, a symmetry group is discrete if and only if there is a lower bound, both for the Lengths all (non-zero) displacements as well as for the Rotation angle of all rotational symmetries.

Edit Periodicity

One considers the set of all displacements (translations) contained in the group (different from zero) and determines how many of these vectors are linearly independent of one another, i.e. one determines the dimension of the linear envelope of these displacement vectors.

If the group does not contain any shifts at all, there is at least one point that is the fixed point of all mappings. In this case one speaks of a point group. Point groups are finite if and only if they are discrete.

As soon as the group contains at least one displacement, it automatically contains an infinite number of elements, at least in Euclidean geometry.

If the number of linearly independent displacement vectors corresponds to the dimension of the space in which the object is embedded, there is a limited part of the object (a cell), the images of which fill the entire room. If the group is also discrete, one speaks of a space group and calls the pattern periodically. In this case there is a restricted fundamental domain of the same dimensions as space, for example a corresponding non-zero surface in the plane.

The symmetry groups in the Euclidean plane can be classified as follows:


Symmetry element

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Point group

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Three dimensions

In three-dimensional space, crystallographic space groups describe the symmetries of a crystal.

Symmetry operations in a crystal are (apart from the identity operation, which maps each point onto itself) point reflection, reflection on a surface, rotation around an axis, displacement (the so-called translation), as well as combinations of these operations. If one understands the successive execution of symmetry operations as additive operation, one recognizes that a set of symmetry operations is a (usually non-commutative) group.

The determination of the 230 possible room groups (or room groupstypes) took place in 1891 independently of each other in laborious sorting work by Arthur Moritz Schönflies and Evgraf Stepanowitsch Fjodorow.

If the orientation of the room is not taken into account, 219 different room groups are obtained. This results in the existence of 11 pairs of enantiomorphic space groups. In these pairs, the arrangements of the symmetry elements such as image and mirror image differ, which cannot be converted into one another by rotation.

The 230 space groups (and the crystals that have the symmetry elements of one of these space groups) can be divided into the 7 crystal systems, the 14 Bravais lattices and the 32 crystal classes.

Bravais grid -
Basic objects with spherical symmetry
Crystal structure -
Basic objects with any symmetry
Number of point groups 7 crystal systems 32 crystallograph. Point groups
Number of room groups 14 Bravais grid 230 room groups

The names of the room groups are usually based on the so-called Hermann-Mauguin symbolism. The space group symbol then consists of a capital letter, which indicates the type of Brava, as well as a sequence of symbols (numbers and lower case letters that indicate the presence of further symmetry elements), which is based closely on the symbolism for point groups, but also takes into account that combined symmetry operations from translation and rotation or mirroring can exist.


Table of contents

In the one-dimensional, i.e. on a straight line, there is the symmetry with respect to a single point as well as the symmetry of the translation (displacement).

In the two-dimensional, there must be between Point- and Axis symmetry can be distinguished. In addition, translational symmetries also occur here.

Rotational Symmetry / Rotational Symmetry Edit

A two-dimensional geometric figure then has the property rotationally symmetrical to be when the figure has a central point, and the figure is mapped onto itself when it is rotated around this point. A circle or a circular ring are rotationally symmetrical in the narrower sense. A rotation through any angle maps it onto itself.

The Schoenflies symbology uses the symbol C n < displaystyle C_ for the symmetry elements and symmetry groups of the rotational symmetry> firmly. Further examples of double rotational symmetry are the point-symmetrical figures shown below. Dass punktsymmetrische Objekte stets auch rotationssymmetrisch sind, gilt jedoch nur im Zweidimensionalen.

Spiegelsymmetrie / Achsensymmetrie Bearbeiten

the Spiegelsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, die bei Objekten auftritt, die senkrecht zu einer Symmetrieachse gespiegelt sind (siehe Zeichnung rechts). [4] Im Zweidimensionalen ist sie gleichbedeutend mit axialer Symmetrie or Achsensymmetrie. For jede Achsenspiegelung gilt:

  1. Figur und Bildfigur sind deckungsgleich zueinander.
  2. Strecke und Bildstrecke sind gleich lang.
  3. Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
  4. Figur und Bildfigur haben verschiedenen Umlaufsinn, sofern in der Figur ein Umlaufssinn definiert ist.

Beispiele Bearbeiten

    können eine oder drei Spiegelsymmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Basis. Homogenegleichseitige Dreiecke haben drei Spiegelsymmetrieachsen, wie die nebenstehende Grafik zeigt. Die Tatsache, dass bei diesen farbig dargestellten Polygonen die Zahl der Symmetrieachsen mit der oben genannten Zähligkeit für die Drehsymmetrie jeweils übereinstimmt, gilt nicht allgemein, denn es gibt viele drehsymmetrische Objekte, die keine Spiegelsymmetrie aufweisen, beispielsweise die weiter unten abgebildeten punktsymmetrischen Formen. können eine, zwei oder sogar vier Spiegelsymmetrieachsen besitzen:
    • Mindestens eine Spiegelsymmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale).
    • Mindestens zwei Spiegelsymmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen).
    • Das homogene Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist vier Spiegelsymmetrieachsen auf. Ist es „gefüllt“, kann sich die Anzahl reduzieren, wie die nebenstehende Grafik ebenfalls zeigt.

    Achsensymmetrie von Funktionsgraphen Bearbeiten

    Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

    Ist sie für alle x gültig, liegt Achsensymmetrie vor, das heißt f ist eine gerade Funktion.

    Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente x und − x übereinstimmen müssen.

    Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x = a , wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist:

    Punktsymmetrie Bearbeiten

    the Punktsymmetrie, even Zentralsymmetrie, [4] ist eine Eigenschaft geometrischer Objekte. Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum designated.

    Beispiele Bearbeiten

    • Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
    • Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.
    • Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten. Bei der Punktsymmetrie sind zueinander symmetrische Strecken immer gleich lang.

    Punktsymmetrie von Funktionsgraphen Bearbeiten

    Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

    Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt (a,b) vor. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu:

    Ist sie für alle x gültig, dann liegt Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung vor.

    Translationssymmetrie Bearbeiten

    Figuren, die durch eine Verschiebung oder Translation (die nicht die Identität ist) in sich selbst überführt werden, haben eine Translationssymmetrie. Sie werden auch als periodisch designated.

    • Figuren, die translationssymmetrisch sind, müssen zwangsläufig unbeschränkt sein. In Anwendungen der Mathematik ist dies praktisch nie gegeben, daher bezeichnet man dort auch beschränkte Teilmengen von periodischen Mengen (Gitter, Kristallstruktur u. Ä.) als periodisch.
    • Die Schaubilder periodischer reeller Funktionen wie der Sinus-Funktion weisen eine Translationssymmetrie in einer Richtung auf.

    Skalensymmetrie Bearbeiten

    In manchen mathematischen und physikalischen Zusammenhängen wird die Unveränderbarkeit eines Objekts unter Vergrößerung oder Verkleinerung als Skalensymmetrie oder Skaleninvarianz bezeichnet. Sehr deutlich wird dieses Phänomen bei den sogenannten Fraktalen.

    In der Natur Bearbeiten

    Der Körperbau der weitaus meisten Tierarten sowie der Aufbau vieler Pflanzenorgane ist äußerlich annähernd spiegelsymmetrisch – in der Biologie als bilateralsymmetrisch bezeichnet – mit einer linken und einer rechten Hälfte. Die einzige Symmetrieebene (Monosymmetrie) ist die anatomische Medianebene, d. H. die mediane (mittig gelegene) Sagittalebene das ist jede Ebene durch den Körper, die sich von vorne nach hinten und von oben nach unten erstreckt. 95 Prozent aller Tierarten, darunter der Mensch, sind Bilateria („Zweiseitentiere“) mit der namensgebenden Körpersymmetrie (bei den übrigen, sehr ursprünglichen Tieren (z. B. Quallen) findet sich oft Rotationssymmetrie bzgl. einer Längsachse, ihre Körper ist somit ein angenäherter Rotationskörper). Aufgrund der Monosymmetrie der Bilateria lassen sich eindeutige Ebenen und Richtungen des Körpers definieren, was eine anatomische Beschreibung vereinfacht. Doch die Symmetrie des Körpers ist nicht vollkommen, so sind viele einfach vorkommende (unpaare) innere Organe (z. B. Herz) von der Spiegelsymmetrie ausgenommen. Auch alle symmetrisch ausgebildeten Körperteile, beispielsweise beim Menschen Augen, Ohren, Arme, Beine, Brüste usw., weisen zueinander jeweils geringfügige Abweichungen in Lage, Form und Größe auf.

    In der Zoologie wird die innerhalb der Bilateria einzigartige fünfstrahlige Radiärsymmetrie der Stachelhäuter als Pentamerie bezeichnet (d. h. beim Seestern verlaufen fünf Symmetrieebenen durch die zentrale Drehachse). In der Mathematik kann man die Symmetrieeigenschaften des Seesterns durch eine Drehgruppe beschreiben. (Die Larven des Seesterns sind noch zweiseitig symmetrisch, wie die meisten anderen Tiere der Gruppe auch. Erst während der Metamorphose entwickelt sich die Pentamerie.)

    Entsprechungen zu zweidimensionalen Symmetrieelementen Bearbeiten

    Of the Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht die Spiegelsymmetrie bzgl. einer Ebene im Dreidimensionalen. Of the Punktsymmetrie im Zweidimensionalen entspricht die Achsensymmetrie (Drehsymmetrie um 180°). Daneben gibt es noch die Punkt-/ Zentralsymmetrie im Raum und wie in der Ebene Translationssymmetrien.

    Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie Bearbeiten

    Dreidimensionale Objekte sind rotationssymmetrisch in engeren Sinn, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine Achse (die Symmetrieachse) das Objekt auf sich selbst abbildet. Diese Art Rotationssymmetrie um eine Achse wird auch als Zylindersymmetrie designated. Dreidimensionale geometrische Objekte mit dieser Eigenschaft nennt man auch Rotationskörper.

    Analog zum Zweidimensionalen wird der Begriff der Rotations- oder Drehsymmetrie auch angewendet, wenn der Körper durch Drehung um gewisse Winkel um eine Achse auf sich selbst abgebildet werden kann. Als Beispiele für rotationssymmetrische 3D-Objekte sind in der nebenstehenden Grafik Prismen perspektivisch dargestellt, die entstehen, wenn die 2D-Polygone der obigen Grafik Vier reguläre Polygone und zwei weitere geometrische Figuren mit den Kennzahlen ihrer Rotationssymmetrie längs einer senkrecht zur Figur liegenden Geraden im Raum verschoben werden. Bei dieser Vorgehensweise spricht man auch von einer Extrusion des Polygons. Es entstehen gerade Prismen, spezielles Polyeder, die in diesem Fall, wenn die gegebenen Polygone reguläre Polygone sind, reguläre Prismen genannt werden.

    Das Symmetriezentrum eines 2D-Objekts wird durch die Extrusion zur Rotationsachse mit einer Pfeilspitze, durch die festgelegt werden kann, ob der Drehwinkel positiv oder negativ zu zählen ist (vgl. Korkenzieherregel). Die dargestellten Symmetrien gehören zu den zyklischen Gruppen C 1 > bis C 6 > und sind Untergruppen der jeweils vollen Symmetriegruppen der Prismen. Es ist zu beachten, dass diese 3D-Objekte weitere Rotations- und Spiegelsymmetrien besitzen. Stellvertretend für die sechs abgebildeten regulären Prismen werden im folgenden Abschnitt alle Rotationssymmetrien eines homogenen Würfels betrachtet.

    Drehsymmetrien eines Würfels Bearbeiten

    Ein homogener Würfel besitzt insgesamt 13 Drehachsen (Achsen der Rotationssymmetrie), wie in der nebenstehenden Grafik dargestellt:

    • 3 die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen,
    • 4 die durch gegenüberliegende Ecken und
    • 6 die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.

    Zählt man die Symmetrieelemente der Rotationssymmetrie des Würfels, so sind es: Das neutrale Element, je 3 für 4-zählige, je 2 für 3-zählige und je eines für 2-zählige Rotationsachsen. Das sind insgesamt 1 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 = 24 Symmetrieelemente.

    Diese 24 Elemente bilden zusammen die Würfel-Drehgruppe. Würfel und reguläres Oktaeder sind duale Platonische Körper und besitzen die gleichen Symmetrien. Deshalb werden die Würfel-Drehgruppe und die Oktaeder-Drehgruppe im Artikel Oktaedergruppe gemeinsam abgehandelt. Kombiniert man die Würfel-Drehgruppe mit der Punktspiegelung am Mittelpunkt des Würfels, so ergeben sich 2 ⋅ 24 = 48 Elemente der vollen Symmetriegruppe des Würfels (s. u.).

    Spiegelsymmetrie Bearbeiten

    Spiegelsymmetrie wird in zwei Bedeutungen verwendet:

    • A Körper besitzt Spiegelsymmetrie, wenn es eine Ebene gibt und die Spiegelung an dieser Ebene eine Symmetrieoperation des betrachteten Körpers ist. Das betrachtete Objekt ist nach der Spiegelung also deckungsgleich mit sich selber. the Spiegelsymmetrieebene wird auch einfach als Spiegelebene[6] bezeichnet. In dieser Bedeutung ist die Spiegelsymmetrie ein Automorphismus. In der Mathematik wird als Automorphismus eine Abbildung eines mathematischen Objekts auf sich selbst bezeichnet, bei der Objekt und abgebildetes Objekt nicht unterscheidbar sind. [7]
    • Two Körper nennt man zueinander spiegelsymmetrisch, wenn sie sich nur durch Spiegelung an einer Ebene unterscheiden. Umgangssprachlich spricht man von einer spiegelverkehrten Kopie (oder einem spiegelverkehrten Bild). Auf die Lage der beiden Körper im Raum kommt es dabei nicht an. Es kann also sein, dass zunächst eine Verschiebung und eine Drehung erforderlich sind, bevor eine gemeinsame Spiegelebene gefunden werden kann. Die beiden Kirchen Santa Maria di Monte Santo and Santa Maria dei Miracoli an der Piazza del Popolo in Rom sind (näherungsweise) spiegelsymmetrisch und stehen einander gegenüber, so dass eine Spiegelung möglicherweise ohne Verschiebung möglich wäre. Die Kirchen wären dann auch spiegelsymmetrisch in der oben beschriebenen, ersten Bedeutung des Begriffs. Ein weiteres klassisches Beispiel zweier spiegelsymmetrischer Gebäude sind die als King Charles Court and Queen Anne Court bezeichneten Gebäude der von Christopher Wren erbauten Marineakademie Royal Naval College in Greenwich.

    Hochsymmetrische Objekte (wie einige der Prismen in der nebenstehenden Grafik) können sehr viele Spiegelebenen besitzen, die sich alle in einem Punkt schneiden. Eine Kugel hat unendlich viele Spiegelebenen. In der Grafik rechts unten sind vier von neun Spiegelebenen und eine der 13 Rotationsachsen eines homogenen Würfels dargestellt. Die Spiegelebenen schneiden sich in der 4-zähligen Rotationsachse. Die dargestellte Symmetrie ist vom Typ einer Diedergruppe D 4 > und ist eine Untergruppe der Würfelgruppe. Die 48 Symmetrieelemente der Würfelgruppe insgesamt unterteilen den Würfel in 48 (äquivalente) Fundamentalbereiche.

    Drehspiegelsymmetrie Bearbeiten

    Drehspiegelsymmetrie ist die Symmetrie eines Körpers, die sich aus zwei Teiloperationen zusammensetzt. Die erste Teiloperation ist eine Drehung um eine Achse, die Drehspiegelachse, die zweite eine Spiegelung an einer Ebene rechtwinklig zur Drehachse, die Drehspiegelebene. [8] Diese Ebene geht durch das Symmetriezentrum, durch den Mittelpunkt des Körpers. Ist die Drehspiegelebene keine Spiegelsymmetrieebene des Körpers, so sind beide Teiloperationen für sich genommen keine Symmetrieoperationen, sondern nur ihre Kombination. Auf die Reihenfolge der Teiloperationen kommt es dabei nicht an. Wir können auch zuerst die Spiegelung und dann die Drehung ausführen.

    Drehspiegelsymmetrien eines Würfels Bearbeiten

    Die Drehspiegelung von Körpern auf sich selbst gehört zu den weniger bekannten, aber vielleicht interessantesten Symmetrieoperationen, die man leicht anhand von geeigneten Grafiken nachvollziehen kann. Die drei Grafiken zeigen einen Würfel und jeweils eine der Drehspiegelachsen und ihre zugehörigen Drehspiegelebenen. Um die Drehspiegelebenen von Spiegelsymmetrieebenen zu unterscheiden, werden sie als graue Kreisscheiben dargestellt, die projektiv als Ellipsen erscheinen. Für die Würfel der Grafiken wurde der Zeichenmodus halbtransparent gewählt. Da die Drehspiegelachsen auch Drehachsen sind, werden sie in der Reihenfolge der obigen Grafik Alle 13 Achsen der Rotationssymmetrie . angeordnet.

    Die erste der drei Grafiken zeigt eine der drei 4-zähligen Drehspiegelachsen und die zugehörige Drehspiegelebene. Die Wirkung der Drehspiegelung lässt sich nachvollziehen, wenn man die Bahn der mit einem weißen Punkt markierten Ecke verfolgt. Die Drehspiegelebene ist durch die Drehspiegelachse orientiert. Wir können deshalb sagen, der weiße Punkt liegt above der Drehspiegelebene. Nach der Drehung um 90° (rechte Handregel: Daumen in Richtung der Achse, Drehung in Richtung der anderen Finger) wird der Punkt zunächst auf die rechte obere Ecke und durch die Spiegelung auf die rechte untere Ecke abgebildet, die durch einen schwarzen Punkt markiert ist. Punkt und Bildpunkt sind durch einen Pfeil verbunden. Die erneute Drehspiegelung um 90° führt zum rechten oberen schwarzen Punkt usw. Nach vierfacher Drehspiegelung ist der Ausgangspunkt wieder erreicht.

    Die Bahn eines Punkts des Würfels in allgemeiner Lage ist ein räumlicher, geschlossener Zickzack-Pfad um die Drehspiegelebene. Liegt der Punkt, den wir verfolgen, auf der Drehspiegelebene, ist seine Bahn ein Quadrat. Liegt er auf der Drehspiegelachse, springt er auf der Drehspiegelachse, von der Drehspiegelebene gespiegelt, viermal hin und her. Das Symmetriezentrum, der Schwerpunkt des Würfels, wird stets auf sich selbst abgebildet. Man beachte, dass die Drehspiegelebene in diesem Fall auch eine Spiegelsymmetrieebene des Würfels ist.

    Interessant ist der in der zweiten Grafik dargestellte Fall einer von vier 6-zähligen Drehspiegelachsen. Interessant einerseits deshalb, weil die Drehspiegelebene offensichtlich keine Spiegelsymmetrieebene des Würfels ist. Andererseits, weil die 3-zählige Drehachse zur 6-zähligen Drehspiegelachse wird. Dass sie 6-zählig ist, erkennt man wiederum, wenn man die Bahn verfolgt, die ein Punkt des Würfels, zum Beispiel in der Grafik die Bahn der mit einem weißen Punkt markierten Ecke verfolgt. Durch die erste Teiloperation, eine Drehung um 60° um die Drehspiegelachse, wird der weiße Punkt auf einen Punkt abgebildet, der kein Eckpunkt ist. Die zweite Teiloperation, die Spiegelung an der Drehspiegelebene, führt zum ersten Bildpunkt, der als schwarzer Punkt markiert ist und der oberhalb der Drehspiegelebene liegt (schwarzer Punkt rechts oben). Wieder sind Punkt und Bildpunkt mit einem Pfeil verbunden. Wendet man nun die Drehspiegelung um 60° erneut auf den ersten Bildpunkt an, führt das zum zweiten schwarzen Bildpunkt rechts unten usw. Nach 6 Drehspiegelungen um jeweils 60° ist der weiße Ausgangspunkt wieder erreicht. Liegt der Punkt, den wir verfolgen, auf der Drehspiegelebene, ist seine Bahn ein reguläres Sechseck.

    Vermutlich unerwartet ist die Wirkung der 2-zähligen Drehspiegelung, der die dritte Grafik gewidmet ist. Dargestellt ist eine der 2-zähligen Drehspiegelachsen, von denen wir, im Analogieschluss von den Drehachsen ausgehend, sechs erwarten. Führen wir die 2-zählige Drehspiegelung nach dem oben skizzierten Vorgehen aus, stellen wir fest, dass jeder Punkt des Würfels auf seinen „Antipoden“ abgebildet wird, auf den Punkt also, der auf der gegenüberliegenden Seite des Würfels liegt. Punkt und Bildpunkt liegen gemeinsam mit dem Symmetriezentrum auf einer Geraden und haben den gleichen Abstand vom Symmetriezentrum. In der Grafik sind in diesem Fall vier weiße Punkte markiert und ihre Bildpunkte als vier schwarze. Alle vier Verbindungsvektoren zwischen Punkt und Bildpunkt schneiden sich im Symmetriezentrum.

    Interessant ist auch der Fakt, dass die Drehspiegelungen um alle sechs möglichen 2-zähligen Drehspiegelachsen zum gleichen Symmetrietyp führen. Dieser Symmetrietyp, die Punktspiegelung am Symmetriezentrum, wird in der Gruppentheorie und der Kristallographie Inversion called. [9] Man kann daher in Symmetriebetrachtungen alle 2-zähligen Drehspiegelachsen weglassen und sie durch eine einzige Operation, die Inversion, ersetzen. [10]

    Eine Drehspiegelung lässt keinen Punkt des Würfels, also keine Ecke, aber auch keine Fläche oder Kante an ihrem ursprünglichen Platz. Einziger Fixpunkt einer Drehspiegelung ist das Symmetriezentrum, der Mittelpunkt des Würfels, worauf bereits hingewiesen wurde.

    Ein homogenes, reguläres Tetraeder besitzt ebenfalls die 4-zählige Drehspiegelsymmetrie eines homogenen Würfels, wie die Grafik am Beispiel einer Achse zeigt. Wie man aus der Grafik erkennt, ist, im Unterschied zum Würfel, die Drehspiegelebene keine Spiegelsymmetrieebene des Tetraeders. In die Grafik ist auch ein Drahtgittermodell eines umhüllenden Würfels eingezeichnet.

    Unterschiede zwischen Drehspiegelung und Drehung Bearbeiten

    Die Eigenschaften der Drehspiegelungen unterscheiden sich von denen der Drehungen:

    • Drehachsen eines Körpers können auch Drehspiegelachsen des Körpers sein, aber nicht jede Drehachse ist zwangsläufig eine Drehspiegelachse. Beim Tetraeder zum Beispiel sind dessen 3-zählige Drehachsen keine Drehspiegelachsen.
    • Das Produkt der Symmetrieoperation einer Drehung mit sich selbst ist stets ein neues Symmetrieelement der Gruppe. Bei einer n-zähligen Drehachse geht die Potenz bis zu (n-1). Das Produkt der Symmetrieoperation einer Drehspiegelachse mit sich selbst ist no neues Symmetrieelement der Gruppe, sondern eine (einfache) Drehung infolge der zweifachen Spiegelung.
    • Die Zähligkeiten einer Drehachse und einer gleichgerichteten Drehspiegelachse können gleich sein (beide sind 4-zählig in der ersten Grafik zum Würfel) oder sie können sich unterscheiden (3-zählig bei Drehsymmetrie und 6-zählig bei Drehspiegelsymmetrie in der zweiten Grafik).
    • Zu jeder Drehspiegelachse eines Würfels gehören zwei Symmetrieelemente pro Drehspiegelachse, unabhängig von ihrer Zähligkeit. Da der Würfel drei 4-zählige und vier 3-zählige Drehspiegelachsen besitzt, gibt es 2 ⋅ ( 3 + 4 ) = 14 Drehspiegelelemente der Würfelgruppe im engeren Sinne. Hinzu kommt one Punktspiegelung aller 2-zähligen Drehspiegelachsen, die Inversion, so dass sich 15 Drehspiegelelemente insgesamt ergeben.

    Wie eingangs erwähnt ist die Punktspiegelung im Zweidimensionalen gleichbedeutend mit einer Drehung um 180° um den Fixpunkt und somit kein eigenes Symmetrieelement.

    Punktsymmetrie / Inversionssymmetrie Bearbeiten

    Wie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben, ist die Punktsymmetrie or Inversionssymmetrie die Symmetrie eines Körpers bezüglich eines Punkts, des Symmetriezentrums. Jeder Punkt tauscht mit dem Punkt, der auf der Geraden, die von diesem Punkt durch das Zentrum geht und auf der anderen Seite des Zentrums im gleichen Abstand liegt, seine Position. Es handelt sich um eine Punktspiegelung des Körpers auf sich selbst. Die Punktspiegelung, lässt keinen Punkt des Körpers an seinem ursprünglichen Platz, mit einer Ausnahme: Einziger Fixpunkt einer Drehspiegelung ist das Symmetriezentrum, der Mittelpunkt des Körpers.

    Die Grafik zeigt die Abbildung von vier ausgewählten Ecken (weiße Punkte) eines Würfels durch Inversion (schwarze Punkte). Umgekehrt werden alle schwarzen Punkte auf die weißen abgebildet. Die Grafik ist eine Wiederholung der dritten obigen Grafik (Ausgewählte Drehspiegelachsen . ) ohne 2-zählige Drehspiegelachse und Drehspiegelebene.

    Die homogenen Platonischen Körper Würfel, Oktaeder, Dodekaeder and Ikosaeder sind punktsymmetrisch. Der einfachste Platonische Körper dagegen, das reguläre Tetraeder, ist es nicht.

    Im Fall des Würfels hatten sich (einschließlich der Inversion) 15 Drehspiegelsymmetrien ergeben. Zusammen mit den 9 Spiegelebenen ergibt das 24 Symmetrieelemente, also genau so viele, wie es Elemente der Würfel-Drehgruppe gibt. Das ist kein Zufall, denn jedes Spiegel- oder Drehspiegelelement lässt sich als eine Kombination aus einer Drehung und einer Inversion interpretieren. In diesem Sinne besitzt die Inversion eines inversionssymmetrischen Körpers eine ähnlich herausgehobene Stellung wie das neutrale Element innerhalb einer Symmetriegruppe.

    Kugelsymmetrie Bearbeiten

    Rotationssymmetrie um jede beliebige Achse durch denselben Punkt ist ein Spezialfall der Rotationssymmetrie und wird als Kugelsymmetrie bzw. Radialsymmetrie bezeichnet. Sterne sind z. B. annähernd kugelsymmetrisch, da deren Eigenschaften (wie z. B. die Dichte) zwar nicht überall gleich sind, aber nur vom Abstand zum Mittelpunkt abhängen. Auch deren Schwerefelder sowie z. B. das elektrische Feld einer geladenen Kugel sind kugelsymmetrisch.

    Aus der Möglichkeit, Symmetrieoperationen zu kombinieren, lassen sich die symmetrischen Grundoperationen herleiten:


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Comments:

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